四重積 (ベクトル解析) について

''a'', ''b'', ''c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
:

\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin       \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\      \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol   \end\end

が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
:

\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)  \end

と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
:

\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) =     \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)

を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
:

\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 =   \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2

も有用な公式でと呼ばれる。'a'', ''b'', ''c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。', ''b'', ''c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'b'', ''c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。', ''c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'c'', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。', ''d'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'd'' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。' は3次元ユークリッド空間のベクトルである。
幾何学的には ''a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'a'', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。', ''b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'b'' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。' で張られた面積ベクトルと ''c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'c'', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。', ''d'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。'd'' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。' で張られた面積ベクトルの重なり具合(射影)を表す。
以下の式 (ビネ・コーシーの恒等式)
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \\&= \det \begin \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol\\ \boldsymbol \cdot \boldsymbol & \boldsymbol \cdot \boldsymbol \end\end$
が成り立つ。

証明

スカラー三重積の公式およびベクトル三重積の公式を使えば
: $\begin(\boldsymbol \times \boldsymbol) \cdot (\boldsymbol \times \boldsymbol)&= ((\boldsymbol \times \boldsymbol)\times\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= ((\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol)\boldsymbol) \cdot \boldsymbol\\&= (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) - (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) (\boldsymbol \cdot \boldsymbol) \end$
と導ける。
あるいは線形代数学におけるビネ・コーシーの恒等式
: $\sum_ (a_i b_j - a_j b_i ) (c_i d_j - c_j d_i ) = \left(\sum_^n a_i c_i \right) \left(\sum_^n b_j d_j \right) - \left(\sum_^n a_i d_i \right) \left(\sum_^n b_j c_j \right)$
を既知とすれば、''n''=3の特別な場合として、上記の式が得られる。

また、特別な場合である
: $\|\boldsymbol\times\boldsymbol\|^2 = \|\boldsymbol\|^2 \|\boldsymbol\|^2- (\boldsymbol\cdot\boldsymbol)^2$
も有用な公式でと呼ばれる。

抄文引用元・出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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